Mathematik beim Grand Prix

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// 12 Mai 2018
Junge Sängerin in stimmungsvollem Bühnenlicht (Bild: Jack Sharp/Unsplash)

Heute Abend gibt es beim Eurovision Song Contest auch ein bisschen Mathematik, denn das Verfahren, wie die einzelnen Bewertungen der fünf Juroren in der nationalen Jury zu einer einzigen Jurywertung zusammengefasst werden, wird geändert, und zwar von einem „linearen“ zu einem „exponentiellen“ Modell.
Keine Sorge, man kann die Idee, was das bedeutet und warum das sinnvoll ist, gut verstehen, ohne sich mit den Details oder gar mit Formeln befassen zu müssen.
Das ist nämlich so: Bisher gibt jeder Juror eine Rangliste aller Beiträge ab (heute Abend: 26 Stück), und aus diesen fünf Ranglisten wird dann für jeden Beitrag der durchschnittliche Rang berechnet wird. (Das ist „linear“.) Die zehn bestplatzierten Beiträge auf dieser Durchschnittsliste erhalten schließlich die üblichen ESC-Punkte (12, 10, 8, 7, …, 2, 1). Kritisch dabei ist, dass jede Bewertung gleich viel Gewicht hat. Wenn vier Juroren zum Beispiel einen bestimmten Beitrag sehr gut finden, einer aber sehr schlecht, dann kann diese eine schlechte Bewertung dafür sorgen, dass der Beitrag am Ende auf der Durchschnittsliste nicht gut dasteht und entsprechend wenig ESC-Punkte bekommt – obwohl 4 von 5 Juroren ihn ja gut bewertet haben. Von der neuen Berechnungsmethode erhofft man sich, dass sie gerechter ist: Schlechte Bewertungen bekommen weniger Gewicht als gute. (Das ist „exponentiell“.)
Für die, die es etwas genauer wissen wollen: Beim alten System waren die Punkte-Abstände auf der Rangliste eines Jurors immer gleich groß. Der Punkteunterschied zwischen Platz 1 und Platz 2 war genau so groß wie der Punkteunterschied zwischen Platz 17 und Platz 18. So etwas nennt man „linear“. Bei einem exponentiellen Modell ist es anders, hier ist der Punkteunterschied zwischen zwei Plätzen auf der Liste nicht immer gleich, sondern proportional zum Platz: Bei einem hohen Platz (etwa zwischen Platz 1 und Platz 2) gibt es einen hohen Punkteunterschied, bei einem geringen Platz (etwa zwischen Platz 17 und Platz 18) einen geringen Punkteunterschied. Das hat zur Konsequenz, dass der Punkteunterschied zwischen Platz 1 und Platz 2 größer ist als der zwischen Platz 2 und 3, dass der wiederum größer ist als der zwischen Platz 3 und Platz 4 und so weiter. Je schlechter die Platzierung ist, desto kleiner wird der Punkteunterschied. Ob ein Juror einen Beitrag nun auf Rang 18 oder Rang 24 setzt, macht dann keinen so großen Unterschied mehr im Vergleich zu einer Bewertung mit einem guten Platz.
Solche exponentiellen Vorgänge, bei denen etwas umso schwächer abnimmt, je schwächer der Effekt selbst ist, treten überall in der Natur auf, zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall (am Anfang zerfällt viel vom Plutonium, später immer weniger), beim Bierschaum (die Schaumkrone schrumpft schnell auf zum Beispiel die Hälfte, aber dann schrumpft sie immer langsamer, das letzte bisschen Schaumschicht bleibt sehr lange), bei chemischen Reaktionen, bei gedämpften Schwingungen, beim Durchleuchten eines Materials mit Licht oder Röntgenstrahlung und in vielen anderen Situationen. Exponentielle Vorgänge gibt es wirklich überall, und jetzt auch beim Grand Prix.
Und die Frage, wie man eine Abstimmung oder Bewertung zwischen mehreren Stimmberechtigten gerecht gestaltet, klingt simpel, eine gute Antwort zu finden, ist aber tatsächlich ein kniffliges Problem in der Mathematik. Und es hat große Auswirkungen. Beispielsweise ist es nicht klar, wie man gerecht, objektiv und transparent im EU-Ministerrat abstimmen soll: Soll vielleicht jedes Land unabhängig von seiner Bevölkerungsanzahl nur eine Stimme haben (ungerecht, denn dann können kleine Länder mit wenigen Bürgern Entscheidungen lenken, die sehr viele Bürger in großen Ländern betreffen), oder soll das Stimmgewicht proportional zur Bevölkerungsstärke sein (auch ungerecht, denn dann dominieren die großen Länder alles, und die kleinen haben überhaupt keinen Einfluss). Oder irgendwas dazwischen? Was denn dann? Gibt es vielleicht einen optimalen Abstimmungsmodus, einen „besten“? Ihr seht, die Mathematik hinter gerechten Abstimmungen ist spannend.
Die neue exponentielle Art, mit der in der nationalen Jury beim Eurovision Song Contest die einzelnen Juror-Bewertungen zusammengefasst werden, ist auch nicht „perfekt“ oder die „beste“, alleine schon deshalb, weil Gerechtigkeit eben kein exakter mathematischer Begriff ist und es immer auch vom persönlichen Empfinden und der konkreten Situation abhängt, was man „gerecht“ nennt. Eine objektive und vor allem allgemeingültige Gerechtigkeit gibt es nicht. (Im Beispiel mit dem EU-Ministerrat könnte man zum Beispiel von einem mathematischen Standpunkt aus durchaus sagen, dass beide Abstimmungsmodi – jedes Land nur eine Stimme / jedes Land Stimmen proportional zur Bevölkerungsstärke – gerecht sind, weil sie klaren Regeln folgen und diese Regeln für alle gelten.) Die neue exponentielle Zusammenfassung der Einzelwertungen ist aber auf jeden Fall besser als die alte lineare, denn bei nur fünf Juroren bekommt jeder einzelne Juror viel Gewicht, und bei einer linearen Zusammenfassung fallen Ausreißer (das sind vereinzelte Bewertungen die krass anders sind als alle anderen) stark ins Gewicht. (Mathematischer Cliffhanger: Es gäbe aber auch noch andere Möglichkeiten, solche Ausreißer abzufangen.)

Bild: Jack Sharp/Unsplash

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